Relatividade
No início do século XIX, mais precisamente em 1905, o jovem Albert Einstein, então com 26 anos, revolucionou a física ao lançar uma nova visão do espaço e do tempo com sua teoria da Relatividade Restrita. Antes de fazermos um pequeno aprofundamento nessa teoria, vamos discutir alguns aspectos importantes que serviram de base para a sua formulação.
Sobre a Luz:
Um dos grandes questionamentos da física durante várias décadas foi a existência (ou não) de uma velocidade máxima (limite) no universo. A mecânica Newtoniana não impunha nenhum valor limite para a velocidade de um corpo, o que possibilitava o transporte de partículas (e informação) instantâneo, ou seja, a uma velocidade infinita.
Acreditava-se também que a luz viajava instantaneamente entre dois pontos (com uma velocidade infinita), fato este que foi descartado definitivamente após o famoso experimento de Olaf Römer (1676) que mediu a velocidade da luz através da observação de eclipses dos satélites de Jupter, chegando bem próximo ao valor aceito (definido) atualmente (c = 299.792.458 m/s).
Uma outra questão que intrigava os físicos da época era que, se a luz realmente era uma onda (conforme os experimentos de interferência e difração confirmavam), o que, então, estaria oscilando?!
Esse questionamento fez supor-se a existência de um meio hipotético, o éter, que povoaria todo o espaço, e que, através dele a luz poderia se propagar. Tal suposição foi descartada após os experimentos de Michelson e Morley que mediram a velocidade da luz em várias direções distintas e encontraram sempre o mesmo resultado.
Se o éter realmente existisse, a velocidade da luz em ralação a um observador fixo na terra deveria ser diferente para cada direção observada, entretanto tal diferença não foi constatada e a idéia da existência do éter abandonada.
A experiência de Michelson e Morley pode ser interpretada como um nadador (a luz) dentro de um rio (o éter), sua velocidade em relação a margem (a terra) deve ser diferente para cada sentido que ele nada, se a favor ou contra a correnteza.
Como essa "correnteza" não foi comprovada, não havia necessidade de se supor a existência do rio (o éter). Como frisa Ernst Mach:
"...Concepts and statements which are not empirically verifiable should not have place in a physical theory..."
Espaço e Tempo
De acordo com a mecânica de Newton, o estado de movimento de um corpo não causa nenhum efeito na passagem do tempo e nem nas medidas dos comprimentos (espaços); em outras palavras, o espaço e o tempo eram considerados grandezas absolutas!
Os conceitos de espaço e tempo absolutos que foram incorporados nos trabalhos de Newton foram prontamente aceitos e pouco questionados pela comunidade científica, uma vez que estão plenamente de acordo com o nosso senso comum.
Newton afirma da seguinte forma:
"...All motions may be accelerated and retarded, but the True, or equable progress, of Absolute time is liable to no change. The duration or perseverance of the existence of things remains the same, whether the motions are swift or slow, or none at all... ...Absolute Space, in its own nature, without regard to any thing external, remains always similar and immoveable..."
Referenciais Inerciais
É importante neste ponto, nos lembrarmos do conceito de referencial inercial na mecânica de Newton, que é, em poucas palavras, aquele referencial onde a lei da inércia é válida, ou seja, um referencial que não esteja acelerado.
O princípio da relatividade está intimamente ligado ao conceito de R.I. Esse princípio afirma que, em qualquer referencial inercial, as leis da física (a princípio apenas as da mecânica) assumem a mesma forma.
"...No mechanical test will reveal whether a system is at rest or is moving uniformly in a straight line. Any movement whithin these two reference frames is identical..."
Uma interpretação clássica desse princípio leva-nos às famosas equações das transformações de Galileu. Que são utilizadas na comparação de fenômenos que ocorram em referenciais inerciais distintos (referencial S e referencial S´).
PROBLEMAS COM O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE
Vimos, até agora, um pequeno resumo da concepção física do o espaço e o tempo até o final do século XIX, vamos tratar das mudanças desses conceitos inicializada com os trabalhos de Einstein em 1905.
Após Maxwell ter firmado as leis fundamentais do eletromagnetismo em meados do século XIX, um grande questionamento surgiu na física: O princípio da relatividade, largamente utilizado na mecânica, poderia ser estendido também a fenômenos eletromagnéticos?
O que esta pergunta propunha responder era se o movimento retilíneo e uniforme iria alterar, de alguma forma, as leis de Maxwell ao se passar de um R.I para outro. O problema consistia no fato de que, através das equações de Maxwell, a velocidade de propagação c da luz no vácuo deveria ser a mesma, em qualquer referencial adotado.
Esse fato vai de confronto com a composição de velocidades previsto pela transformação de Galileu. Alguma coisa precisava ser esclarecida! Ou o principio da composição de velocidades (e em conseqüência todo o principio da relatividade na mecânica newtoniana) estava errado ou então os fenômenos eletromagnéticos eram, de alguma maneira especial, que não poderia ser aplicado a eles o princípio da relatividade.
Havia três caminhos distintos para se tentar solucionar esse aparente paradoxo:
O primeiro consistia em afirmar que as leis do eletromagnetismo de Maxwell estavam erradas, e precisavam ser reformuladas para estarem de acordo com a mecânica newtoniana (e o princípio da relatividade). Esta linha de pensamento foi desenvolvida por G. Hertz sem sucesso, devido a grande comprovação experimental das leis de Maxwell.
O segundo caminho era supor a existência de um referencial inercial privilegiado, e só nele a velocidade da luz era c, em todos os outros deveria ser diferente. Esta hipótese, que levava em consideração a existência do éter e adotada por Lorentz foi definitivamente descartada após os experimentos de Michelson e Morley que confirmaram que a velocidade da luz permanecia sempre a mesma!
Lorentz, para suprir essa contradição, introduziu fatores de correção nas transformações de Galileu para poder justificar os resultados experimentais obtidos por Michelson e Morley. Esses fatores de correção (conhecidos como transformações de Lorentz) eram, como o próprio nome diz, meramente fatores de correção, e não eram deduzidos a partir de nenhuma idéia física consistente, eram apenas considerados para poder justificar os resultados experimentais.
O terceiro caminho, proposto por Einstein, consistia em abandonar definitivamente os conceitos de espaço e tempo absolutos e partir para uma nova visão dos mesmos. Einstein propôs que o eletromagnetismo e o princípio da relatividade continuariam válidos, os conceitos de Newton sobre o espaço e o tempo é que precisavam ser revistos. Nascia assim a Teoria da Relatividade Restrita.
AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
Conforme vimos anteriormente, Lorentz introduziu fatores de correção para poder justificar os dados experimentais obtidos por Michelson e Morley, tais fatores, que receberam o nome de Transformações de Lorentz, assumem a seguinte forma :
Onde a razão v/c é usualmente conhecida como ß (Beta) e o fator
é conhecido como
(gama) -Fator de Lorentz-.
Estas equações implicam, em primeiro lugar, que o comprimento de um objeto deve se contrair por um fator g na direção do seu movimento para um observador inercial qualquer em relação ao qual o objeto esteja se movendo a uma velocidade v. O que corresponde a famosa "contração do comprimento", que é tão falada na relatividade restrita.
Uma segunda conseqüência prevista pelas equações de Lorentz é que o tempo passaria de maneira distinta para cada observador. O tempo passaria de maneira mais devagar a medida que a velocidade relativa entre o observador e o objeto aumenta. O fator de "dilatação do tempo" é, novamente dado por
.
OS POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Todos esses fatos levaram Einstein a enunciar dois postulados:
1o Postulado: As leis da física assumem a mesma forma, em TODOS os referenciais inerciais.
Com esse postulado, Einstein estendeu o princípio da relatividade de Galileu para toda a física, e não somente a mecânica.
2o Postulado: A velocidade da luz no vácuo é constante e independe do referencial através do qual ela é medida.
AS CONSEQÜÊNCIAS RELATIVÍSTICAS NO ESTUDO DA CINEMÁTICA
A conseqüência mais impressionante (e imediata) dos dois postulados da Relatividade Restrita é o total abandono do conceito newtoniano de espaço e tempo como grandezas físicas absolutas. Para exemplificar tal fato, faremos um experiência simples que mostra como o tempo passa de maneira diferente em dois referenciais inerciais distintos.
Vamos supor a seguinte situação: Roberto (referencial A) está sentado em uma calçada e observa Fernando (referencial B) que está dentro do vagão de um trem se movendo a uma velocidade v (em relação a Roberto) constante e para a direita.
Fernando coloca um espelho no teto do vagão onde ele se encontra e uma fonte de luz (lazer) no piso, imediatamente abaixo do espelho e apontado para cima.
O experimento consiste em enviar um feixe de luz para ser refletido no teto do vagão e voltar ao piso do trem. Ambos os observadores irão medir o intervalo de tempo gasto para tal evento e... chegarão a conclusão que são DIFERENTES!!! Ou seja, a mudança no referencial interfere no intervalo de tempo medido!
Velocidade = deslocamento/tempo gasto
Onde: c = velocidade da luz (constante em ambos os referenciais, de acordo com o segundo postulado), L = altura do trem, t0 = intervalo de tempo medido por Fernando, v = velocidade do trem, t = intervalo de tempo medido por Roberto.
Substituindo uma equação na outra, após algumas contas chega-se ao resultado:
Conclusões:
1- Como, para os fenômenos observados no nosso dia-a-dia o fator ß (v/c) é muito próximo de zero, o intervalo de tempo se torna praticamente o mesmo em qualquer referencial inercial, o que está de pleno acordo com o nosso senso comum.
2- Como o fator de Lorentz (
) é sempre maior do que 1, o intervalo t é sempre maior do que t0, o qual é conhecido como "tempo próprio" por ser o tempo medido por um referencial onde a luz partiu e retornou ao mesmo ponto no espaço.
O fato do tempo passar de maneira distinta em diferentes R.I implica na perda do conceito de simultaneidade; fatos que são simultâneos em um referencial perdem a simultaneidade em qualquer outro referencial que esteja em movimento em relação ao primeiro.
A Adição de Velocidades
Vamos agora analisar o problema da adição (composição) de velocidades segundo a cinemática da Relatividade Restrita. O nosso problema consiste em se calcular a velocidade de um corpo em dois referenciais distintos (S e S´).
É o mesmo problema de se tentar calcular a velocidade relativa entre dois objetos. Isso se dá trivialmente por mera adoção de que um dos dois objetos é o nosso referencial S e calcular a velocidade do outro corpo em relação a esse referencial.
Pela visão clássica (de Newton e Galileu), esse é um problema trivial. Imaginemo-nos dentro de um caminhão que se move a 90 km/h (em relação a calçada), suponhamos que, de dentro do caminhão, jogamos pela janela (no mesmo sentido do seu movimento) uma pedra, a uma velocidade de 15 km/h (em relação ao caminhão).
A pergunta é sobre qual seria a velocidade desta pedra em relação a calçada? A resposta, que qualquer estudante de oitava série conhece é de 105 km/h (90 + 15 = 105). Porém, é de se esperar, diante dos postulados da relatividade restrita, que essa conta comece a apresentar um resultado não trivial a medida que nos aproximamos da velocidade da luz.
Vamos supor um caso crítico com a própria luz. Voltemos ao nosso caminhão. Vamos ligar os seus faróis (que viajam a 90 km/h) e medir a velocidade da luz emitida por eles tanto em relação a calçada quanto em relação a nós (dentro do caminhão).
Por analogia ao nosso primeiro experimento, esperaríamos obter os resultados de 300.000 km/s em relação a nós e 300.000 km/s + 90 km/h em relação a calçada, o que está de pleno acordo com o nosso senso comum. Porém, pelo que já vimos, essa resposta está ERRADA!
Uma vez aceitando-se o segundo postulado da R.R, a luz deve ter a mesma velocidade, independente do referencial utilizado.
Vamos então, analisar com mais cuidado a composição de velocidades. Indiquemos por vx a velocidade de um objeto em relação ao referencial S; por vx´ a velocidade desse mesmo objeto em relação ao referencial S´ e por v a velocidade relativa entre esses dois referenciais.
Pela definição de velocidade temos: (supondo a origem em t = t´= x = x´ = 0)
x´ = vx´ . t´
x = vx . t
Pelas Transformações de Lorentz temos:
x´ = (x - vt).g
t´ = (t - vx/c2).g
Após algumas manipulações algébricas temos:
(x - vt).g = vx´ . t´
x.(1 + vx/c2) = t.(v + Vx´)
E, finalmente, chegamos em:
Que é a fórmula de adição de velocidades no caso relativístico. É interessante perceber dois aspectos nessa fórmula:
1- Para velocidade pequenas em relação a velocidade da luz, o termo v.vx´/c2 tende a zero, e a equação se resume a já esperada fórmula clássica vx = vx´ + v.
2- Notemos que essa fórmula não permite que a velocidade relativa entre dois corpos supere a velocidade da luz.
Vamos supor que dois elétrons viajam em sentidos contrários com velocidades de módulo igual a 0,9c. Qual será a velocidade relativa entre eles?
Pela maneira clássica chegamos ao resultado absurdo de 1,8c (maior do que a velocidade da luz). Já pela equação (25) - relativística - chega-se em 0,994c. O que está de pleno acordo com tudo o que já vimos até agora.
AS CONSEQÜÊNCIAS RELATIVÍSTICAS NO ESTUDO DA DINÂMICA
Além de todas as aplicações da Relatividade Restrita no campo da cinemática, chega-se também em importantes resultados no estudo da dinâmica. Embora não seja o objetivo dessa monografia tratar desses novos conceito na dinâmica, uma vez que priorizamos aqui o estudo do espaço e do tempo, vale a pena citá-los.
O Momento Linear (Quantidade de Movimento)
O primeiro grande resultado da dinâmica relativística é que o momento linear (quantidade de movimento) de um corpo não aumenta linearmente com sua velocidade, mas obedece a fórmula:
Q =
.Qo
Onde Qo indica o momento clássico (m . v).
Esse resultado nos leva a uma interpretação interessante: A medida que o corpo aumenta a sua velocidade, se torna mais difícil aumentá-la. A inércia do corpo aumenta com sua velocidade, de modo que, nas proximidades da velocidade da luz, a inércia do corpo é tão grande que se torna quase que impossível acelerá-lo.
Esse resultado é de enorme aplicação nos atuais aceleradores de partículas, onde os objetos de estudo (as partículas elementares) atingem velocidades muito próxima da velocidade da luz.
A Dualidade Massa-Energia
Sem a menor dúvida, a equação mais conhecida de toda a relatividade e que serve como um símbolo para Einstein nos dias de hoje é a famosíssima:
E = m.c²
Onde se unifica o conceito de massa com o de energia. Não existe mais a "conservação da massa" de um sistema, mas sim a conservação da massa-energia, uma vez que uma pode ser transformada na outra como a equação sugere.
Vamos agora fazer uma pequena demonstração de como se chega na equação.
Imaginemos uma caixa, e nela contida dois corpo de mesma massa (A e B). O corpo A, além da sua massa habitual, contém um fóton (espécie de átomo da luz). Esse fóton é emitido por A e absorvido por B.
Antes mesmo da relatividade restrita, já se era conhecido que um feixe de luz transmite um momento (impacto) a uma superfície absorvente de valor : Q = E/c
Onde Q é a quantidade de movimento transferida e "E" é a energia do feixe.
Quando o corpo A emite o fóton, toda a caixa sofre um recuo para trás a uma velocidade v, até o instante em que o fóton é absorvido pelo corpo B.
Um fato interessante é que, ao atingir o corpo B, o fóton terá percorrido uma distância L, e não L - x como era de se esperar. Esse fato ocorre pois, como nada pode andar mais rápido do que a luz, o fóton chega a B antes mesmo de que esse lado da caixa percorra a distância x. Logo:
c = L/t
Onde L é o comprimento da caixa e t é o intervalo de tempo gasto pelo fóton para percorrê-la.
Pela conservação do momento linear da caixa temos:
Mt.v = Ef/c
Onde Mt indica a massa total dos objetos e Ef indica a energia do fóton.
Sabemos que:
x = v.t
Fazendo a substituição das equações temos:
x = Ef.L/Mt.c2
Pela conservação da posição do centro de massa temos:
(MA + MB).L = MA.(L + x) + x.(MB + Mf)
Fazendo a substituição das equações e, adotando que MA + MB + Mf = Mt temos:
Ef = Mf.c2
Essa foi uma pequena demonstração utilizando-se a luz, embora a dualidade massa-energia seja válida para todos os corpos.
UM POUCO MAIS SOBRE A RELATIVIDADE RESTRITA
Após nos depararmos pela primeira vez com a relatividade restrita, surge em nós (ou pelo menos deveria surgir) dois grandes questionamentos:
O primeiro é com relação ao porquê da grande distância entre os trabalhos de Newton (final do século XVII) e a publicação da teoria da Relatividade Restrita por Einstein em 1905.
A resposta para tal questionamento vem do fato de que, no nosso dia-a-dia, estamos em contato com fenômenos que ocorrem a baixíssimas velocidades (comparadas com a velocidade da luz, é claro!), e o fator de Lorentz (g) se aproxima muito de 1 nesses casos, o que torna as correções relativísticas quase que imperceptíveis.
Uma vez entendendo (ou, para os mais cépticos, simplesmente aceitando) as conseqüências da Relatividade Restrita, lembramo-nos das suas limitações e fazemos um segundo questionamento:
Sendo então resolvidas as transformações de um referencial inercial para outro e encontradas tantas "novidades" com relação ao antigo tratamento, o que esperar do tratamento de referenciais não inerciais?
A solução para esse questionamento foi dada por Einstein, dez anos após a publicação da Relatividade Restrita, em 1915 com a sua Teoria da Relatividade Geral, como veremos a seguir.
